足首にかかるモーメントを考える事で、足首に必要なトルクが分かります。

　54.5gのおもりをつけた100mmの棒を、地面で固定する。棒がα傾いた時のモーメントMを求めよ。
ただし、棒は0°〜90°まで動けるものとする。

棒の長さ：L = 100[mm] おもりの重さ：mg = 54.5[gf] おもりに働く力：F = mg[gf]×cos(90-α) 足首に働くモーメント：M = F[kgf]×L[cm] 角度：α = 数値は任意（0°〜90°）

よって、上記の２つの式を代入すると、M = mg[kgf]×cos(90-α)×L[cm]となります。

この式に値を代入すると、以下のようになります。
M = 0.0545[kgf]×cos(90-α)×10[cm]
M = 0.545[kgf・cm]×cos(90-α)

後は、上の式に角度を入れるだけで、どのくらいのモーメントが足首に働いているかが分かります。

先ほどできた計算式に0°〜90°までの角度を代入して作ったグラフを下記に掲載しておきます。 おまけで、360度まで回した時のグラフも掲載しています。
足首にかかるモーメント(0°〜90°)	足首にかかるモーメント(0°〜360°)

このグラフから、推察できるのは下記の通りです。

• グラフの曲線はSINカーブの一部である。
• 足首に働くモーメントはSINカーブを描きながら変化している
• 棒の角度が0°の時は、足首に働いているモーメントは０である。

今度は、一本の棒ではなく、二本の棒で構成されていると考えて計算します。

54.5gのおもりをつけた100mmの棒L₁と、109gのおもりをつけた100mmの棒L₂があり、
L₁の根元は地面に固定してある。棒がα₁とα₂傾いた時のモーメントMを求めよ。
ただし、棒はα₁が0°〜90°、α₂が0°〜180°まで動けるものとする。

棒の長さ：L1 = 100[mm] 棒の長さ：L2 = 100[mm] 棒の長さ：L3 = ？[mm] おもりの重さ：mg1 = 54.5[gf] おもりの重さ：mg2 = 109[gf] おもりに働く力：F1 = mg1[gf]×cos(90-α1) おもりに働く力：F2 = mg2[gf]×cos(90-α3) 角度：α1 = 数値は任意（0°〜90°） 角度：α2 = 数値は任意（0°〜180°） 角度：α3 = ？ 足首に働くモーメント：M1 = F1[kgf]×L1[cm] 足首に働くモーメント：M2 = F2[kgf]×L3[cm] 足首に働く合計モーメント：M = F1[kgf]×L1[cm]+F2[kgf]×L3[cm]

F₁については前回の計算で求められているので、F₂について考えます。

F₂を求めるには、固定点からおもりmg2までの距離L₃を求める必要があります。

なぜL₃なのかというと、この二本の棒は「計算する時に角度が変化しない」という前提があるからです。
つまり、時が止まっている時に、力がどう働いているか調べてしまおうというわけです。
二本の棒が固定している(動かない、可動しない)ということは、もう一本棒を加えて三角形にしてしまっても問題ないのです。

そういう訳で、想像上の棒L₃の長さがどのくらいなのか計算します。

最初に上の図のような直角三角形を作り、その底辺Aと高さBを求めます。

A[mm] = L₁　×　cos(α₁)　+　L₂　×　cos(α₂)
B[mm] = L₁　×　sin(α₁)　+　L₂　×　sin(-α₂)

ここで、三平方の定理を使います。

三平方の定理：C² = A² + B²
変形すると　：C = √(A² + B²)
式を代入すると：L₃ = √{(L₁×cos(α₁)+L₂×cos(α₂))² + ( L₁×sin(α₁)+L₂×sin(-α₂))²}

これでL₃の式ができました。次に角度α₃を求めます。

α₃ = acos(A/L₃)

式ができあがったので、数値を入れていきます。

• A = 10[cm]×(cos(α₁) + cos(α₂)
• B = 10[cm]×(sin(α₁) + sin(-α₂)
• L₃ = √{100[cm]×(cos(α₁) + cos(α₂))² + 100[cm]×(sin(α₁) + sin(-α₂))²}
• L₃ = 10[cm]×√{(cos(α₁) + cos(α₂))² + (sin(α₁) + sin(-α₂))²}
• α₃ = acos((cos(α₁) + cos(α₂)/√{(cos(α₁) + cos(α₂))² + (sin(α₁) + sin(-α₂))²} )
• F₂ = 0.109[kgf]×cos(90-α₃)
• M₂ = 1.09[kgf]×cos(90-α₃)×√{(cos(α₁) + cos(α₂))² + (sin(α₁) + sin(-α₂))²}

これでモーメントM₂が出たので、後はモーメントM₁を足すだけです。

M = M₁ + M₂

式が複雑になってしまいましたが、これらの式に数値を入れれば足首に働くモーメントの答えが出てきます。

前回と同じく、先ほどできた計算式に0°〜90°までの角度を代入して作ったグラフを下記に掲載しておきます。 おまけで、360度まで回した時のグラフも掲載しています。
足首にかかるモーメント(0°〜90°)	足首にかかるモーメント(0°〜360°)

補足：このグラフは足首の角度を10度ずつ増やし、膝の角度を1度ずつ動かした時のグラフです。